Доклад на тему «Дисперсия числового набора»

Введение

Представим двух учеников, у которых за четверть одинаковый средний балл, ровно четыре. У первого в журнале стоят почти одни четвёрки, а у второго вперемешку пятёрки и тройки, иногда двойка, и учитель, конечно, понимает, что это совсем разные ученики, хотя средние совпадают. Чтобы описать такую разницу числом, в статистике и придумали меру разброса, которая называется дисперсией.

В курсе «Вероятность и статистика», который с 2023 года стал обязательным для 7–9 классов, дисперсию изучают в восьмом классе после средних значений: среднего арифметического, медианы и моды. Средние отвечают на вопрос, вокруг какого числа группируются данные, а дисперсия отвечает на другой вопрос, насколько далеко от этого числа они разбегаются. Без второго вопроса картина оказывается неполной, и пример с оценками это хорошо показывает.

Слово взято из латыни, где dispersio значит «рассеяние», а научным термином его сделал англичанин Рональд Фишер, генетик и статистик, который в 1918 году в длинной статье о наследовании признаков у родственников предложил называть variance, то есть дисперсией, средний квадрат отклонения. Сама идея была старше: ещё Гаусс в начале XIX века, обрабатывая астрономические наблюдения, оценивал точность измерений через сумму квадратов ошибок, и от него же пошёл знаменитый метод наименьших квадратов.

В школьном курсе всё это, конечно, упрощено до одного определения и пары формул, но полезно знать, что за ними стоят двести лет работы астрономов, геодезистов и биологов. Ниже сначала разобрано, почему в формуле дисперсии появились квадраты, потом расчёт на примере двух учеников и стандартное отклонение, а в конце несколько жизненных примеров, от тира до банка. Основой служит учебник И. Р. Высоцкого и И. В. Ященко для 7–9 классов.

Глава 1. Дисперсия и как её вычислить

1.1 Отклонения от среднего

Самое естественное, что можно сделать с набором чисел, это посмотреть, насколько каждое из них отстоит от среднего. Разность «число минус среднее» называют отклонением, и знак у неё зависит от того, по какую сторону от среднего лежит число. В наборе 2, 4, 6 со средним 4 получатся отклонения −2, 0 и 2.

Восьмиклассник, впервые решающий такую задачу, почти наверняка попробует сложить отклонения, и здесь его ждёт разочарование: сумма выйдет нулевой. Причём не только в этом примере, а вообще всегда, при любом наборе, ведь среднее арифметическое и определено как такая точка, относительно которой плюсы и минусы уравновешены. Учителя любят давать это в виде маленькой задачи на доказательство, и она решается в две строчки.

Знаки можно убрать двумя способами. Можно брать отклонения по модулю, и тогда получится так называемое среднее абсолютное отклонение, мера вполне законная, хотя в школе о ней почти не говорят. А можно возводить отклонения в квадрат, и статистики XIX–XX веков выбрали именно этот путь, отчасти потому, что с квадратами гораздо удобнее работать в алгебраических выкладках, а отчасти потому, что квадрат делает крупные отклонения особенно заметными.

1.2 Формула и пример вычисления

В учебнике определение звучит так: дисперсия числового набора есть среднее арифметическое квадратов отклонений чисел набора от среднего арифметического этого набора. Фраза длинная, но за ней стоит простая последовательность действий, найти среднее, вычесть его из каждого числа, возвести разности в квадрат, сложить и поделить на количество чисел. Обозначают дисперсию по-разному, буквой D или s², и в задачах это не принципиально.

Посчитаем дисперсию для учеников из введения. Пусть у первого оценки 4, 4, 4, 3, 5, у второго 5, 3, 5, 2, 5, средний балл у обоих 4, и расчёт для второго ученика оформим таблицей, как советует учебник, чтобы не запутаться в знаках.

Таблица 1 — Вычисление дисперсии оценок второго ученика (учебный пример)

Сумма квадратов отклонений равна 8, чисел в наборе пять, значит, дисперсия равна 8 : 5 = 1,6. Для первого ученика отклонения равны 0, 0, 0, −1 и 1, квадраты 0, 0, 0, 1 и 1, сумма 2, а дисперсия 2 : 5 = 0,4. Получается, что у второго ученика разброс оценок в четыре раза больше, хотя средний балл тот же самый.

У дисперсии есть неудобство: её единицы измерения возведены в квадрат. Если данные были в сантиметрах, дисперсия получится в квадратных сантиметрах, а если в баллах, то в «квадратных баллах», что звучит странно. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение, которое измеряется в тех же единицах, что и сами данные. У наших учеников стандартное отклонение равно примерно 0,63 и 1,26 балла.

На рисунке 1 отклонения обоих учеников поставлены рядом, синие столбики относятся к первому, зелёные ко второму, а данные, разумеется, учебные.

У первого ученика столбиков почти нет, лишь два крошечных на четвёртой и пятой оценке, у второго они гуляют вверх и вниз, а самый длинный приходится на двойку. Эта единственная двойка даёт в сумму квадратов 4 из 8, то есть ровно половину, и на ней хорошо видно, как квадрат раздувает вклад крупного отклонения. Отсюда практическое следствие: один случайный выброс, например ошибка при вводе данных, может сильно исказить дисперсию, поэтому перед расчётом данные стоит хотя бы просмотреть глазами.

Считать можно и по другой, более короткой формуле: дисперсия равна среднему квадратов чисел минус квадрат среднего. Для второго ученика получается (25 + 9 + 25 + 4 + 25) : 5 − 16 = 17,6 − 16 = 1,6, тот же ответ. Этой формулой удобно пользоваться, когда среднее выходит неровным, скажем 3,67, и вычитать его из каждого числа утомительно.

Тем, кто потом встретит дисперсию в институте или в компьютерной программе, пригодится одно предупреждение. В вузовской статистике, когда по небольшой выборке судят о большой совокупности, сумму квадратов часто делят не на n, а на n − 1, и Excel, например, умеет считать оба варианта разными функциями. В школьном курсе делят на n, и при сверке ответов с калькулятором об этой разнице стоит помнить.

На контрольной дисперсию чаще всего губят две мелочи. Одни ребята возводят в квадрат не каждое отклонение, а уже готовую сумму, и тогда, как мы видели, получают ноль, после чего недоумевают, почему разброс исчез. Другие пишут (−2)² = −4, забыв, что квадрат отрицательного числа положителен. Проверить себя помогает простое соображение: дисперсия не бывает отрицательной и обращается в ноль лишь тогда, когда все числа в наборе одинаковы.

1.3 Где встречается дисперсия

Хороший пример из спорта дают стрелки. Два спортсмена могут выбить в среднем по 9 очков за выстрел, но у одного пробоины легли тесной кучкой, а у другого разбросаны от семёрки до десятки, и тренер, глядя на мишени, скажет, что первый стреляет стабильнее, а второму надо работать над техникой. Говоря языком статистики, у первого меньше дисперсия, и именно её, а не только среднее, учитывают при отборе в команду.

На производстве дисперсия превращается в вопрос брака. Болт, выточенный чуть толще нормы, не войдёт в гайку, чуть тоньше будет болтаться, так что технологу мало знать, что средний диаметр в партии ровно 10 миллиметров. Ему важно, чтобы разброс диаметров укладывался в допуск, и для этого на заводах ведут контрольные карты, где стандартное отклонение размеров отслеживают смена за сменой.

С деньгами та же история, только там стандартное отклонение доходности называют волатильностью. Положим, вклад приносит 8 % каждый год, а акции за три года дали +30 %, −10 % и +4 %, то есть в среднем тоже 8 %. Средние совпали, но спокойно спать можно только с первым вариантом, и если посчитать дисперсию доходности акций, она окажется огромной, а у вклада почти нулевой.

И последний пример, совсем близкий к школе. Если в двух классах средний балл за контрольную одинаковый, три с половиной, но в одном почти у всех четвёрки и тройки, а в другом половина пятёрок и половина двоек, учителю придётся работать с ними совершенно по-разному. Средний балл этого не покажет, а дисперсия покажет сразу, и это, пожалуй, лучший ответ на вопрос, зачем её вообще изучать.