Доклад на тему «Наглядная геометрия»

Введение

Систематический курс геометрии в российской школе начинается в 7 классе, и для многих учеников он становится испытанием: появляются аксиомы, теоремы и доказательства, а сами фигуры словно отходят на второй план. Между тем человек знакомится с геометрией гораздо раньше, когда складывает кубики, рисует узоры, вырезает снежинки из бумаги или собирает модель из конструктора. Такое знакомство с фигурами через наблюдение, рисование и моделирование называют наглядной геометрией.

Вопрос о том, что такое наглядная геометрия и зачем она нужна, обсуждается учителями и методистами уже больше ста лет. В 5–6 классах её преподают как отдельный курс или как раздел математики, и для него написаны специальные учебники. Наглядная геометрия развивает пространственное воображение, которое пригодится не только на уроках стереометрии, но и в черчении, архитектуре, инженерном деле и компьютерном моделировании. Кроме того, она помогает ученикам увидеть в геометрии интересную и красивую науку, а не набор правил.

Цель доклада — объяснить, что такое наглядная геометрия, каковы её задачи и содержание. В первой главе рассматриваются понятие, история и основные темы наглядной геометрии, во второй главе примеры заданий и её значение для дальнейшего изучения математики. Материал основан на учебнике И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия», книге Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена с тем же названием и методической литературе.

Глава 1. Понятие и содержание наглядной геометрии

1.1 Что такое наглядная геометрия

Наглядной геометрией называют такой способ изучения геометрических фигур и их свойств, при котором главную роль играют наблюдение, построение, измерение и работа с моделями, а не строгие логические доказательства. Ученик не выводит свойства фигур из аксиом, а открывает их сам: вырезает, складывает, сравнивает, рисует и делает выводы. Например, чтобы убедиться, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, можно оторвать у бумажного треугольника три угла и приложить их друг к другу, и они составят развёрнутый угол.

Наглядная геометрия не противопоставляет себя строгой геометрии, а готовит к ней. Многие свойства, которые позже доказываются в 7–9 классах, ученик уже знает из опыта, и доказательство становится для него объяснением того, почему верно то, что он видел своими глазами. Методисты считают, что без такого опыта строгий курс воспринимается формально, а с ним гораздо осмысленнее.

У термина есть и другое, более широкое значение. В 1932 году великий немецкий математик Давид Гильберт вместе со Стефаном Кон-Фоссеном издал книгу «Наглядная геометрия», в которой показал, что многие глубокие разделы математики, от кристаллографии до топологии, можно понять через наглядные образы. Книга была переведена на русский язык и много раз переиздавалась. В этом смысле наглядная геометрия представляет собой не только школьный предмет, но и особый взгляд на математику, при котором образ помогает понять идею.

1.2 Уровни геометрического мышления

Объяснить, почему наглядная геометрия должна предшествовать систематическому курсу, помогает теория нидерландских педагогов Пьера и Дины ван Хиле. В 1950-х годах они предложили выделять несколько уровней геометрического мышления, через которые ученик проходит последовательно. На первом уровне ребёнок узнаёт фигуры по внешнему виду, как целое: квадрат для него похож на окно, а круг на мяч. На втором он начинает замечать свойства фигур, например то, что у квадрата все стороны равны.

На третьем уровне ученик понимает связи между свойствами и может объяснить, почему квадрат является частным случаем прямоугольника. Только после этого становится возможным четвёртый уровень, на котором строятся доказательства из аксиом и теорем, а пятый уровень, сравнение разных аксиоматических систем, достигают уже студенты-математики. Если перескочить через ранние уровни, ученик запоминает доказательства, не понимая их смысла.

Курс наглядной геометрии в 5–6 классах как раз рассчитан на первые уровни по ван Хиле. Он помогает ученикам хорошо узнавать фигуры, называть и сравнивать их свойства и делать первые простые выводы. К 7 классу ученик подходит к систематическому курсу подготовленным, и переход к доказательствам даётся ему легче.

1.3 Основные темы курса

Содержание наглядной геометрии шире, чем кажется. Помимо привычных отрезков, углов, треугольников и окружностей, в неё входят пространственные тела, развёртки, симметрия, паркеты, задачи на разрезание, оригами и даже элементы топологии. В учебнике И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой, выпущенном издательством «Дрофа», представлены, например, такие темы, как правильные многогранники, лента Мёбиуса, лабиринты, задачи со спичками и геометрические головоломки.

Одна из самых наглядных тем курса посвящена многогранникам. Ученики склеивают из развёрток куб, тетраэдр и другие тела, считают у них вершины, рёбра и грани и замечают удивительную закономерность. Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум. Эту формулу в XVIII веке вывел Леонард Эйлер, но пятиклассник может проверить её сам, пересчитав элементы у моделей. Результаты такой проверки для пяти правильных многогранников приведены в таблице 1.

Таблица 1 — Правильные многогранники и формула Эйлера

Правильных многогранников всего пять, и это тоже можно понять наглядно. В каждой вершине должно сходиться не меньше трёх одинаковых правильных многоугольников, а сумма их углов должна быть меньше 360 градусов, иначе фигура станет плоской. Такое условие выполняется только для трёх, четырёх и пяти треугольников, трёх квадратов и трёх пятиугольников. Ещё древние греки знали эти тела, а Платон связывал их со стихиями, поэтому их называют платоновыми телами.

На рисунке 1 сопоставлено число граней и вершин у пяти правильных многогранников. Видно, что столбцы попарно меняются местами: у куба 6 граней и 8 вершин, а у октаэдра 8 граней и 6 вершин, то же самое у додекаэдра и икосаэдра. Математики называют такие многогранники двойственными: если соединить центры граней куба, получится октаэдр, и наоборот.

Такие открытия, сделанные самостоятельно с помощью бумаги, ножниц и клея, запоминаются гораздо лучше, чем выученное правило. В этом и состоит главная идея наглядной геометрии: прежде чем доказывать, нужно увидеть и потрогать. Двойственность многогранников, которую ученик обнаруживает в 5 классе, позже встретится ему в стереометрии, а формула Эйлера станет первым знакомством с топологией, разделом математики, который изучает свойства фигур, не меняющиеся при непрерывных деформациях.

1.4 Симметрия, паркеты и задачи на разрезание

Ещё одна важная тема наглядной геометрии связана с симметрией. Ученики ищут оси симметрии у букв, цифр, дорожных знаков и снежинок, складывают лист бумаги пополам и вырезают фигуры, которые после разворачивания оказываются симметричными. Они замечают, что у квадрата четыре оси симметрии, у равностороннего треугольника три, а у круга бесконечно много. Такие наблюдения позже становятся основой для изучения осевой и центральной симметрии в 8 классе.

С симметрией тесно связаны паркеты, то есть способы покрыть плоскость одинаковыми фигурами без промежутков и наложений. Плоскость можно замостить правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками, а вот правильными пятиугольниками нельзя, и ученик может проверить это, попытавшись сложить их из бумаги. Пчёлы строят соты именно из шестиугольников, и наглядная геометрия позволяет обсудить, почему такая форма выгодна: при одинаковой площади ячейки у шестиугольника получается наименьший периметр среди фигур, которыми можно замостить плоскость.

Задачи на разрезание и составление фигур развивают умение мысленно перемещать части и видеть одну фигуру в другой. К ним относится, например, древняя китайская головоломка танграм, в которой из семи частей квадрата складывают сотни силуэтов людей, животных и предметов. Решая такие задачи, ученик на практике убеждается, что фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь, и подходит к понятию равносоставленных фигур, которое пригодится при выводе формул площади параллелограмма и треугольника.