Реферат на тему «Теорема Вариньона»

Введение

Возьмём на листе бумаги четыре произвольные точки и соединим их в четырёхугольник, какой угодно кривой и несимметричный. Отметим середины его сторон и соединим их по порядку. Сколько бы раз ни повторять этот опыт, внутри всегда получится параллелограмм. Это утверждение и называется теоремой Вариньона, и в нём есть редкое для геометрии сочетание простоты и неожиданности.

Теорема носит имя французского математика Пьера Вариньона (1654–1722), члена Парижской академии наук, известного прежде всего работами по механике. Её доказательство было опубликовано в 1731 году, уже после смерти автора, в учебнике «Элементы математики». Сам факт, по-видимому, был замечен и раньше, но именно Вариньон включил его в систематическое изложение геометрии, и с тех пор теорема связывается с его именем.

В школьном курсе теорема Вариньона обычно появляется как задача после темы о средней линии треугольника. Однако её значение шире: она связывает свойства произвольного четырёхугольника со свойствами параллелограмма, позволяет находить площади и решать задачи на доказательство. Кроме того, теорема хорошо иллюстрирует, как одна простая идея о средней линии порождает целую цепочку следствий.

Вид параллелограмма Вариньона зависит от того, каковы диагонали исходного четырёхугольника. Эта зависимость удобно собрана в таблице 1: по свойствам диагоналей можно заранее предсказать, какая фигура получится внутри.

Таблица 1 – Вид параллелограмма Вариньона в зависимости от диагоналей

Цель реферата – сформулировать и доказать теорему Вариньона, рассмотреть её следствия и практическое применение, а также связь с другими теоремами геометрии. Работа опирается на школьный учебник геометрии и задачники повышенного уровня, где теорема и её следствия разбираются наиболее подробно.

Глава 1. Теорема Вариньона и её доказательство

1.1 Формулировка теоремы

Теорема Вариньона формулируется так: середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Этот параллелограмм называют параллелограммом Вариньона. Важное дополнение к формулировке касается его сторон: каждая из них параллельна одной из диагоналей исходного четырёхугольника и равна её половине.

Существенно, что теорема верна для любого четырёхугольника. Она выполняется для выпуклых фигур, для невыпуклых, у которых один угол больше развёрнутого, и даже для самопересекающихся «четырёхугольников», где стороны перекрещиваются, как в бантике. В последнем случае параллелограмм может выродиться в отрезок, если середины сторон окажутся на одной прямой, но формально утверждение о параллельности сохраняется.

Из формулировки сразу следует несколько свойств. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника, поскольку каждая пара противоположных сторон в сумме даёт одну диагональ. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади выпуклого исходного четырёхугольника. Это второе свойство особенно полезно в задачах, и к нему мы ещё вернёмся.

Полезно также сформулировать обратный вопрос: любой ли параллелограмм можно получить как параллелограмм Вариньона? Ответ положительный, причём исходных четырёхугольников для данного параллелограмма бесконечно много. Достаточно выбрать одну вершину исходной фигуры произвольно, а остальные три построить отражением относительно заданных середин сторон.

Рассмотрим простой пример, который помогает почувствовать формулировку. Пусть диагонали четырёхугольника равны 10 и 6 сантиметрам. Тогда стороны параллелограмма Вариньона равны 5 и 3 сантиметрам, а его периметр составляет 16 сантиметров, то есть сумму диагоналей. Обратите внимание, что ни длины сторон исходной фигуры, ни её углы для этого вычисления не понадобились.

Этот пример показывает главную особенность теоремы: параллелограмм Вариньона «видит» только диагонали исходного четырёхугольника. Два совершенно разных четырёхугольника с одинаковыми и одинаково расположенными диагоналями дадут один и тот же параллелограмм. Поэтому теорема удобна в задачах, где известны диагонали, а стороны найти трудно или вовсе невозможно.

1.2 Доказательство теоремы

Классическое доказательство опирается на теорему о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Пусть дан четырёхугольник ABCD, а K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Проведём диагональ AC, которая разбивает четырёхугольник на треугольники ABC и ACD.

В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC, значит, KL – средняя линия. Следовательно, KL параллелен AC и равен половине AC. В треугольнике ACD отрезок NM соединяет середины сторон AD и CD, поэтому NM тоже параллелен AC и равен его половине. Получается, что отрезки KL и NM параллельны одной прямой и равны между собой.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, – параллелограмм. Значит, KLMN – параллелограмм, что и требовалось доказать. Аналогичное рассуждение с диагональю BD показывает, что стороны KN и LM параллельны BD и равны её половине, хотя для самого доказательства это уже не обязательно.

Существует и векторное доказательство, которое удобно тем, что не требует рисунка и работает для любого расположения точек. Если обозначить радиус-векторы вершин через a, b, c, d, то середины сторон имеют радиус-векторы (a + b)/2, (b + c)/2, (c + d)/2 и (d + a)/2. Вектор KL равен (c − a)/2, вектор NM тоже равен (c − a)/2, а равенство векторов означает, что KLMN – параллелограмм.

Теперь обоснуем свойство площади для выпуклого четырёхугольника. Треугольник KBL подобен треугольнику ABC с коэффициентом 1/2, поэтому его площадь равна четверти площади ABC. Точно так же треугольник MDN отсекает четверть площади ACD. Вместе эти два «уголка» составляют четверть площади ABCD, а два других уголка, при вершинах A и C, – ещё четверть. На параллелограмм остаётся ровно половина.

Проверить это свойство можно на конкретных фигурах. На рисунке 1 для четырёх четырёхугольников с заданными размерами сопоставлены площадь исходной фигуры и площадь её параллелограмма Вариньона. Значения рассчитаны по формулам площадей, поэтому они точные, а не приближённые.

Рисунок 1 – Площадь четырёхугольника и его параллелограмма Вариньона, кв. ед.

Во всех четырёх случаях площадь параллелограмма Вариньона ровно вдвое меньше. Для ромба с диагоналями 6 и 8 параллелограмм Вариньона оказывается прямоугольником 3 на 4 площадью 12, что согласуется и с таблицей 1: у ромба диагонали перпендикулярны. Для квадрата со стороной 4 получается квадрат площадью 8, повёрнутый на 45 градусов.

Отметим ещё одно следствие, которое часто используется в олимпиадных задачах. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, являются диагоналями параллелограмма Вариньона и потому делятся точкой пересечения пополам. Эта точка совпадает с центром тяжести четырёх равных масс, помещённых в вершины исходного четырёхугольника. Здесь проявляется связь теоремы с механикой, которой занимался сам Вариньон.

Свойство площади можно использовать и в обратную сторону. Если в задаче известна площадь параллелограмма, образованного серединами сторон, то площадь исходного выпуклого четырёхугольника находится удвоением. Для невыпуклого четырёхугольника рассуждение с «уголками» требует осторожности, но результат о половине площади сохраняется, если площади считать с учётом ориентации фигуры, как это делают в аналитической геометрии.

Таким образом, теорема Вариньона доказывается в несколько строк с помощью средней линии треугольника или векторов, но из неё вытекает целый ряд свойств: о периметре, площади, виде параллелограмма и точке пересечения средних линий. Как эти свойства применяются при решении задач и как теорема связана с другими утверждениями геометрии, рассмотрено во второй главе.