Реферат на тему «Обозначения в геометрии»

Введение

Если открыть русский перевод «Начал» Евклида, написанных около 300 года до нашей эры, легко заметить, что в них нет ни одного привычного нам значка. Нет знака угла, нет знака перпендикулярности, нет даже знака равенства. Всё изложено словами: «прямая, проведённая к прямой под прямым углом», «углы при основании равны между собой». Единственное, что Евклид уже использовал так же, как мы, это буквы для обозначения точек, и чертёж с подписанными вершинами A, B, C выглядел у него почти по-современному.

Сегодня школьник записывает то же самое гораздо короче. Вместо фразы «прямая AB перпендикулярна прямой CD» он пишет AB ⊥ CD, вместо «угол ABC равен шестидесяти градусам» пишет ∠ABC = 60°. Такая запись экономит время и место, а главное, позволяет одним взглядом охватить всё решение задачи, что особенно важно при доказательствах, где нужно держать в голове сразу много фактов.

При этом многие ученики пользуются обозначениями механически и не задумываются о том, что за каждым знаком стоят конкретный человек и конкретная книга. Знак равенства придумал валлиец в XVI веке, знаки угла и перпендикуляра француз в XVII веке, а привычное нам π стало общепринятым благодаря Леонарду Эйлеру, который долго работал в Петербурге. История обозначений показывает, как постепенно складывался язык математики, на котором сегодня говорят учёные всего мира.

Знание обозначений нужно и на практике. На экзамене ошибка в записи может стоить баллов, а в разных странах некоторые знаки используются по-разному, и это стоит учитывать, читая иностранные учебники и задачи олимпиад. Например, равенство треугольников в российской школе записывают обычным знаком «=», а в американской специальным знаком «≅».

В первой главе рассмотрено, как появились геометрические обозначения, какие из них приняты в школьном курсе и кто ввёл основные знаки. Во второй главе речь пойдёт о различиях в обозначениях в разных странах и о типичных ошибках при оформлении решений. Главным источником служит «История математических обозначений» Ф. Кэджори, а также школьные учебники геометрии Л. С. Атанасяна и А. В. Погорелова.

Глава 1. Обозначения в школьной геометрии и их история

1.1 От слов к символам

Почему греки, придумавшие строгое доказательство, обходились без значков? Скорее всего, они в них просто не нуждались. Доказательство читали вслух и обсуждали в кругу учеников, книги переписывали от руки, и фраза «угол при вершине равен углу при вершине» никого не утомляла. К тому же числа греки записывали буквами алфавита, и любой новый значок пришлось бы отличать от букв, что только запутало бы читателя.

Перемены начались в эпоху Возрождения, когда математику стали печатать, а купцам и мастерам понадобились быстрые расчёты. Итальянские авторы XV–XVI веков писали p вместо plus и m вместо minus, немецкие счётные мастера пользовались знаками «+» и «−» на ящиках с товаром, отмечая излишек и недостачу веса, а равенство долго обозначали сокращением латинского aequalis. В 1557 году валлийский врач и математик Роберт Рекорд в книге «Точильный камень остроумия» впервые использовал знак равенства в виде двух параллельных отрезков, объяснив, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии.

Франсуа Виет, юрист при дворе французского короля, занимался математикой в свободное время и именно ему принадлежит, пожалуй, самая важная идея этой истории. В 1591 году он предложил обозначать буквами не только точки, но и любые величины, в том числе неизвестные, гласными буквами искомые, согласными данные, и так появилась возможность записать задачу целиком, не называя конкретных чисел. Позже Рене Декарт в «Геометрии» 1637 года ввёл привычный нам порядок: последние буквы алфавита x, y, z для неизвестных, первые a, b, c для известных величин. После этого геометрические задачи стало возможно решать алгебраически, а самой геометрии потребовались новые краткие обозначения для её объектов.

1.2 Обозначения, принятые в школьном курсе

В российской школе действуют довольно строгие договорённости о том, как обозначать геометрические фигуры. Точки обозначают заглавными латинскими буквами A, B, C, прямые строчными a, b, c или двумя точками, через которые они проходят, а углы либо тремя буквами с вершиной посередине, либо одной буквой вершины, либо греческой буквой α, β, γ. Основные обозначения собраны в таблице 1.

Таблица 1 — Основные обозначения школьного курса геометрии

Обычно стороны треугольника, лежащие против вершин A, B и C, обозначают строчными a, b и c, высоту буквой h, медиану буквой m, биссектрису буквой l, а площадь буквой S. Эту систему во многом закрепил Леонард Эйлер, и ею пользуются уже больше двух столетий. Если нужно различить высоты, проведённые к разным сторонам, к букве добавляют нижний индекс: h с индексом a означает высоту, опущенную на сторону a.

Одна и та же запись AB может означать разные вещи: прямую, луч, отрезок или длину отрезка. Что именно имеется в виду, обычно понятно из текста задачи, но в более строгих учебниках длину отрезка выделяют вертикальными чертами, |AB|, как модуль числа. Для лучей и прямых иногда используют стрелки над буквами, а в российских учебниках луч обычно записывают словом, например «луч OA».

Отдельного внимания заслуживает запись равенства фигур. В учебнике Л. С. Атанасяна треугольники, которые можно совместить наложением, называют равными и записывают обычным знаком «=». В англоязычных странах такие фигуры называют конгруэнтными и пишут для них особый знак «≅», а знак «=» оставляют для чисел, например для длин и площадей. Разница кажется мелочью, но на олимпиадах и при чтении иностранных учебников из-за неё нередко возникает путаница.

1.3 Кто придумал геометрические знаки

Большинство знаков, которыми сегодня пользуются в школе, появились в XVI–XVII веках. Особенно много сделал французский математик Пьер Эригон: в его пятитомном «Курсе математики», выходившем с 1634 по 1637 год, впервые встречаются знак угла ∠ и знак перпендикулярности ⊥. Сам Эригон считал, что математику нужно излагать коротко, почти без слов, и придумал для этого множество символов, из которых, впрочем, прижились лишь немногие.

Знак параллельности ∥ в виде двух вертикальных чёрточек появился в Англии: его использовал Уильям Оутред, и в напечатанном виде он вышел в 1677 году, уже после смерти автора. Знаки подобия ∼ и равенства фигур в виде, близком к ≅, предложил Готфрид Вильгельм Лейбниц в рукописи 1679 года, причём волнистая черта у него была перевёрнутой буквой S, от латинского similis, подобный. Современный вид знака ≅ закрепился только в XIX веке. Годы появления основных знаков показаны на рисунке 1.

По рисунку видно, что знаки появлялись не одновременно, а на протяжении почти трёхсот лет, и путь от первой публикации до общепринятого употребления занимал десятилетия. Так, число π впервые обозначил этой буквой английский математик Уильям Джонс в 1706 году, но в учебниках оно закрепилось лишь после того, как его стал систематически использовать Эйлер в 1730-х годах. Знак равенства Рекорда тоже долго соперничал с другими вариантами и стал общепринятым только к началу XVIII века.

Обозначения выживали не случайно. Удачный знак должен быть простым, легко писаться от руки и наглядно напоминать то, что он означает. Знак перпендикулярности ⊥ похож на две прямые под прямым углом, знак параллельности на две параллельные прямые, знак угла на сам угол. Именно поэтому эти символы пережили сотни других, придуманных в то же время и забытых.