Реферат на тему «Стандартная запись числа»

Введение

Масса Земли составляет примерно 5 970 000 000 000 000 000 000 000 килограммов, а масса электрона около 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 килограмма. Прочитать такие числа вслух почти невозможно, а при записи легко потерять или добавить лишний ноль, и тогда результат расчёта изменится в десять раз. Чтобы избежать этого, в математике и естественных науках используют стандартную запись числа, которую также называют стандартным видом числа или научной записью.

Стандартный вид числа изучают в курсе алгебры 8 класса, но пользуются им гораздо шире: в физике, химии, астрономии, биологии, на инженерных калькуляторах и в компьютерных программах. Без него невозможно записать ни скорость света, ни число Авогадро, ни размер вируса, а сравнивать такие величины удобно только тогда, когда видно, на сколько порядков одна больше другой. Поэтому умение быстро переводить число в стандартный вид и обратно относится к базовым навыкам, необходимым при решении задач по многим предметам.

Цель реферата — раскрыть понятие стандартной записи числа, показать, как переводить в неё числа и обратно, и где она применяется. Порядок изложения простой: в первой главе определение и правила перевода, во второй действия с такими числами, в третьей примеры из физики, химии, астрономии и вычислительной техники. Опорой служат учебник алгебры Ю. Н. Макарычева для 8 класса, школьные учебники физики и справочник М. Я. Выгодского, по которому готовилось к экзаменам не одно поколение.

Глава 1. Понятие стандартной записи числа

1.1 Определение

Само определение умещается в одну строку: стандартным видом положительного числа a называют запись a = m · 10ⁿ, где 1 ≤ m < 10, а n — целое число. Множитель m зовут мантиссой, или значащей частью, показатель n — порядком. Например, у числа 4500, записанного как 4,5 · 10³, мантисса 4,5, а порядок 3.

Ключевое слово здесь — мантисса. До запятой в ней стоит ровно одна цифра, и это не ноль, иначе запись перестаёт быть стандартной. Те же 4500 можно написать и как 45 · 10², и как 0,45 · 10⁴, но в первом случае мантисса больше десяти, а во втором меньше единицы, и учитель такую запись не засчитает. Придирка только кажется мелкой: из-за неё у каждого числа есть одна-единственная стандартная запись, а значит, числа можно сравнивать по порядку, не выписывая их целиком.

Порядок числа показывает, где в числе находится первая значащая цифра. Если число больше или равно десяти, порядок положителен и равен количеству цифр в целой части минус один. Если число от единицы до десяти, порядок равен нулю. Если же число меньше единицы, порядок отрицателен, и его модуль равен количеству нулей перед первой значащей цифрой, включая ноль в целой части. Так, у числа 0,003 порядок равен −3, потому что 0,003 = 3 · 10⁻³.

1.2 Как записать число в стандартном виде

Перевод числа в стандартный вид сводится к переносу запятой. Запятую переносят так, чтобы перед ней оказалась одна ненулевая цифра, и считают, на сколько знаков она сдвинулась. Если запятую сдвигали влево, порядок положителен и равен числу сдвигов, если вправо, порядок отрицателен. Например, в числе 384 400, которое выражает среднее расстояние от Земли до Луны в километрах, запятую нужно сдвинуть влево на пять знаков, и получается 3,844 · 10⁵ км.

С малыми числами поступают так же, только запятая движется вправо. Диаметр эритроцита человека составляет примерно 0,000 007 метра. Чтобы получить мантиссу 7, запятую нужно сдвинуть вправо на шесть знаков, поэтому в стандартном виде диаметр эритроцита равен 7 · 10⁻⁶ м. Нули, стоящие в начале числа, при этом исчезают, а вся информация о них сохраняется в показателе степени.

Обратный перевод выполняется по тому же правилу. Чтобы записать число 2,5 · 10⁴ в обычном виде, запятую сдвигают вправо на четыре знака, дописывая недостающие нули, и получают 25 000. Для числа 1,6 · 10⁻¹⁹, которое выражает заряд электрона в кулонах, запятую сдвигают влево на девятнадцать знаков, и в обычной записи перед цифрами 16 оказывается восемнадцать нулей после запятой. На этом примере особенно хорошо видно, насколько стандартная запись удобнее.

Нули в числе бывают двух сортов, и их полезно различать. В записи 384 400 последние нули могут быть точными, а могут лишь показывать, что число измеряется сотнями тысяч. Стандартная запись снимает эту двусмысленность: если расстояние до Луны известно с точностью до сотни километров, пишут 3,844 · 10⁵ км, если только до десяти тысяч — 3,8 · 10⁵ км. Цифры мантиссы называют значащими; физик, получивший с линейки результат 23 сантиметра, не станет писать 2,3000 · 10⁻¹ м, потому что последние нули его прибор измерить не мог.

1.3 Примеры чисел в стандартном виде

Особенно выручает стандартная запись в естественных науках, где соседствуют расстояния до звёзд и размеры молекул. Несколько таких величин собраны в таблице 1; значения взяты из учебников физики и справочников и округлены до трёх-четырёх значащих цифр. Попробуйте прочитать вслух массу Земли из второго столбца, а потом из третьего, и разница станет очевидной.

Таблица 1 — Примеры величин в стандартном виде

Порядок работает как грубая, но очень удобная линейка. Из двух чисел больше то, у которого больше порядок, а при равных порядках решает мантисса. На рисунке 1 так выстроены размеры объектов в метрах, от атома водорода до светового года. Между крайними столбиками двадцать пять порядков, то есть световой год длиннее атома примерно в 10²⁵ раз — в десять септиллионов.

Человек со своими полутора-двумя метрами роста оказывается почти посередине этой шкалы, с порядком 0. Влево уходят клетки и атомы, вправо горы, планета и межзвёздные расстояния. На обычной линейке такое не нарисовать: атом слился бы с нулём, а световой год не поместился бы и на миллионе страниц. Порядки сжимают эту бесконечную линейку до одного графика, где видно всё сразу.

В физике и технике порядки величин имеют собственные названия, которые выражаются приставками единиц измерения. Приставка «кило» означает 10³, «мега» 10⁶, «гига» 10⁹, а для малых величин используют «милли» 10⁻³, «микро» 10⁻⁶ и «нано» 10⁻⁹. Эти приставки установлены Международной системой единиц СИ, и каждая из них соответствует сдвигу порядка на три. Поэтому 7 · 10⁻⁶ м можно записать как 7 мкм, а 3,844 · 10⁵ км как 384,4 тысячи километров.

1.4 Из истории записи больших чисел

Как записать огромное число, задумывались задолго до алгебры. В III веке до нашей эры Архимед написал небольшое сочинение «Псаммит», то есть «Исчисление песчинок», адресованное сиракузскому царю Гелону. Он взялся доказать, что число песчинок, которые поместились бы во всей Вселенной, можно не только назвать, но и оценить. Греческий счёт доходил лишь до мириады мириад, то есть ста миллионов, поэтому Архимед придумал ступени, «октады», каждая в мириаду мириад раз больше предыдущей. Ответ у него вышел меньше 10⁶³, а сама идея считать ступенями очень напоминает нынешний порядок числа.

Знакомая нам запись степени маленькой цифрой справа вверху появилась у Рене Декарта в «Геометрии» 1637 года. Чуть раньше Джон Непер изобрёл логарифмы, а Генри Бриггс составил таблицы десятичных логарифмов, и вычислители привыкли делить число на две части — характеристику и мантиссу. Отсюда и пришло слово «мантисса», хотя в логарифмах оно означает дробную часть логарифма, а не множитель перед степенью десяти. Путаница, которую унаследовали школьные учебники, объясняется именно этим.

По-настоящему массовой научная запись стала вместе с калькуляторами и компьютерами. На экране инженерного калькулятора 6,022 · 10²³ выглядит как 6.022E23: буква E, от английского exponent, заменяет слова «умножить на десять в степени». Так же числа пишут в Excel и в языках программирования, а внутри процессора дробные числа хранятся в виде мантиссы и порядка, только по основанию два. Так что, разобравшись в стандартном виде, школьник заодно понимает, как считает его ноутбук.