Реферат на тему «Лестница Пенроуза»

Введение

Самое известное изображение лестницы Пенроуза — литография нидерландского художника Маурица Эшера «Восхождение и нисхождение» (1960). На крыше монастыря монахи в капюшонах идут двумя цепочками по квадратной лестнице: одни вверх, другие вниз (а двое отдыхают в стороне). Попробуйте провести пальцем по ступеням, и через четыре поворота палец вернётся туда, откуда начал, хотя всё время поднимался.

Придумал её, однако, не Эшер. В 1958 году отец и сын Пенроузы (генетик Лайонел и математик Роджер) напечатали в «Британском психологическом журнале» заметку на две страницы, где лестница впервые появилась в нынешнем виде. Отсюда и название, хотя широкая публика знает фигуру скорее по Эшеру.

Тема кажется забавной, но за ней стоят серьёзные вопросы: как наш мозг восстанавливает объём по плоской картинке и почему его так легко обмануть. Невозможные фигуры изучают психологи, их используют художники, а математики описывают их на языке топологии. Нам было интересно разобраться, откуда эта фигура взялась и почему она до сих пор так популярна.

Ниже мы собрали основные даты истории невозможных фигур. Таблица показывает, что лестница Пенроуза появилась не на пустом месте, а продолжила почти двухвековую игру художников с перспективой.

Таблица 1 – Невозможные фигуры: от первых рисунков до лестницы Пенроуза

Примечание — даты по публикациям и каталогам работ Эшера.

Цель реферата — проследить историю создания лестницы Пенроуза, описать её геометрические свойства и показать, как она повлияла на искусство и науку. В первой главе речь идёт о предшественниках и о самой статье 1958 года, во второй о геометрии фигуры, в третьей о её влиянии.

Основными источниками для нас стали статья Пенроузов, книги о творчестве Эшера и популярные работы по психологии восприятия. Иллюстрации в таких книгах важнее текста: невозможную фигуру проще один раз увидеть, чем долго описывать словами.

Глава 1. История создания лестницы Пенроуза

1.1 Ранние исследования невозможных фигур

Художники ошибались в перспективе всегда, но нарочно делать это стали довольно поздно. Одним из первых был английский гравёр Уильям Хогарт. В 1754 году он сделал фронтиспис к книге о перспективе, который сейчас называют «Ложной перспективой» или «Сатирой на ложную перспективу». На гравюре рыболов закидывает удочку через голову другого рыболова, стоящего гораздо дальше, а женщина в окне прикуривает трубку у путника на далёком холме.

Хогарт сделал это ради насмешки над неумелыми рисовальщиками, и подпись под гравюрой прямо предупреждает: кто нарисует так, тот рискует подобными нелепостями. Но для истории невозможных фигур гравюра важна по другой причине. Она показывает, что зритель замечает ошибку не сразу, а лишь когда начинает рассматривать отдельные детали.

Примерно в те же годы итальянец Джованни Баттиста Пиранези выпустил серию офортов «Темницы». В его фантастических тюрьмах лестницы и мосты уходят в разные стороны, и иногда трудно понять, где верх, а где низ. Строго говоря, невозможными эти пространства назвать нельзя, но ощущение запутанности в них очень похожее.

Первую настоящую невозможную фигуру нарисовал в 1934 году восемнадцатилетний шведский художник Оскар Реутерсвард. Это был треугольник, сложенный из девяти кубиков, и каждый угол по отдельности выглядел нормально, но вместе они не могли существовать в трёхмерном пространстве. Позже Реутерсвард нарисовал сотни подобных фигур, в том числе собственные варианты бесконечной лестницы.

О работах Реутерсварда долго знали в основном в Швеции. Признание пришло к нему поздно: в 1982 году шведская почта выпустила марки с его невозможными фигурами, и тогда о художнике заговорили за пределами страны.

Так или иначе, о Реутерсварде в Англии 1950-х не слышали. Поэтому, когда в 1950-е годы Пенроузы пришли к той же идее, они были уверены, что придумали её первыми. Такое в истории науки случается часто: одно и то же открытие делают независимо люди, которые ничего друг о друге не знают.

Рисунок 1 – Высота ступени над стартовой при обходе лестницы Пенроуза (условный расчёт)

Примечание — условная модель: четыре марша по две ступени; глазу каждая ступень кажется выше предыдущей, но восьмой шаг возвращает на исходную площадку.

1.2 Создание лестницы Пенроуза

Роджер Пенроуз (будущий нобелевский лауреат по физике 2020 года) в 1954 году был аспирантом в Кембридже. Летом он поехал на Международный математический конгресс в Амстердам, где одновременно проходила выставка Эшера. Литографии с переплетающимися мирами его так впечатлили, что, вернувшись домой, он начал сам рисовать «невозможные» объекты и в итоге пришёл к знаменитому треугольнику из трёх брусков.

Отец Роджера, Лайонел Пенроуз, был генетиком и при этом любил головоломки. Увидев треугольник сына, он придумал к нему пару — лестницу, которая поднимается бесконечно. Её устройство довольно простое: четыре марша ступеней соединены под прямыми углами, и каждый марш нарисован так, будто он идёт вверх, однако на рисунке они замкнуты в квадрат.

Статья «Невозможные объекты: особый вид зрительной иллюзии» вышла в 1958 году в British Journal of Psychology. Она занимала всего пару страниц, и в ней было лишь несколько рисунков. Авторы объясняли, что каждая часть фигуры правдоподобна сама по себе, а противоречие возникает, когда мы пытаемся связать части в одно целое.

На рисунке 1 эта мысль показана с помощью условного расчёта. Если идти по нарисованной лестнице и считать, на сколько ступеней мы поднялись, высота растёт с каждым шагом, а потом, после последнего поворота, оказывается снова нулевой. В реальном мире такую лестницу построить нельзя, потому что высота точки не может одновременно быть и семь ступеней, и ноль.

Пенроузы отправили оттиск статьи Эшеру, указав, что вдохновились его работами. Эшер ответил благодарным письмом и вскоре использовал обе фигуры. Лестница стала основой литографии «Восхождение и нисхождение» (1960), а треугольник — «Водопада» (1961), где вода бежит по каналу вниз и снова оказывается наверху, вращая мельничное колесо.

Важно, что сами Пенроузы смотрели на свои фигуры как на материал для психологии восприятия. Их интересовало, почему мозг охотно принимает невозможный рисунок за изображение реального предмета. Ответ, который они предложили, звучит так: мы анализируем изображение по частям и проверяем каждую часть отдельно, а общую согласованность проверяем гораздо хуже.

В этом, по-видимому, и секрет живучести лестницы (ей уже больше шестидесяти лет, а её всё перерисовывают). Любой отдельный кусок рисунка — самая обыкновенная лестница, и придраться не к чему; противоречие обнаруживается только при полном обходе. Причём, даже зная разгадку, перестать видеть подъём не получается.

Есть у неё и звуковая родственница. В 1964 году американский психолог Роджер Шепард (тёзка Роджера Пенроуза) описал звук, который будто бы всё время повышается и при этом ходит по кругу; его называют «тоном Шепарда».

Лестница Пенроуза оказалась удобной и для кино, и для компьютерных игр. В фильме Кристофера Нолана «Начало» (2010) герой показывает её во сне, где законы пространства можно нарушать, а в головоломке Monument Valley (2014) игрок ведёт принцессу по зданиям, построенным по тем же принципам. В обоих случаях фигура работает одинаково: зритель видит обычные ступени и только потом понимает, что их невозможно сложить в настоящий дом.