Проект на тему «Тригонометрия в жизни человека»

Введение

В восьмом классе на уроке геометрии появляются синус, косинус и тангенс, а вместе с ними привычный вопрос: где это вообще может пригодиться? Вопрос справедливый, потому что в учебнике тригонометрия выглядит как набор отношений сторон и формул приведения. Между тем родилась она задолго до школьных учебников, у астрономов Древней Греции, которым надо было предсказывать затмения, и долго оставалась рабочим инструментом мореходов, землемеров и строителей.

Само слово составлено из двух греческих корней: «тригонон», треугольник, и «метрео», измеряю. Идея, на которой держится вся наука, укладывается в одно предложение: в прямоугольном треугольнике по одному острому углу и одной стороне можно найти обе другие стороны. С помощью этого правила высоту сосны узнают, не залезая на неё, а ширину реки, не переплывая её. Тот же приём, только в гораздо более сложном виде, используют спутниковые навигаторы и программы для трёхмерной графики.

Проект задуман для того, чтобы связать школьные определения с реальными задачами. Когда ученик своими руками измерит угол и по нему вычислит высоту здания, тангенс перестанет быть строчкой в таблице, а заодно станет ясно, почему точность результата зависит от того, где стоишь.

Цель проекта — показать, как тригонометрия применяется в жизни человека, и на практике рассчитать высоту здания с помощью тригонометрических функций.

Задачи: узнать историю возникновения тригонометрии; повторить определения синуса, косинуса и тангенса острого угла; найти примеры применения тригонометрии в разных областях; изготовить простой угломер и рассчитать с его помощью высоту школьного здания; оформить результаты в виде буклета.

Гипотеза: тригонометрические функции позволяют с достаточной для практики точностью находить расстояния и высоты, которые нельзя измерить напрямую. Продукт проекта — буклет «Тригонометрия вокруг нас» с примерами и инструкцией по измерению высоты.

Глава 1. Тригонометрия: история и применение

1.1 Как появилась тригонометрия

Первые таблицы, похожие на тригонометрические, составил древнегреческий астроном Гиппарх во II веке до нашей эры. Он вычислял не синусы, а длины хорд окружности для разных углов и пользовался ими, чтобы рассчитывать движение Солнца и Луны. Около 150 года нашей эры Клавдий Птолемей в Александрии поместил подробную таблицу хорд в свой главный труд, который позже стал известен под арабским названием «Альмагест», и по этой книге астрономы учились ещё полторы тысячи лет.

Синус в привычном нам виде придумали в Индии. Математики V–VI веков заметили, что считать удобнее не целую хорду, а её половину, и назвали её «джива», то есть тетива лука. Арабские учёные записали слово как «джиба», а латинский переводчик XII века спутал его с похожим арабским «джайб», что значит «пазуха» или «изгиб», и перевёл латинским sinus. Так название одной из главных функций математики оказалось памятником ошибке переводчика.

Затем тригонометрию развивали учёные Средней Азии и Ближнего Востока, среди них аль-Баттани и ал-Бируни, а в Европе отдельной наукой её сделал немецкий математик Региомонтан, автор трактата XV века «О треугольниках всех видов». Привычные нам обозначения и взгляд на синус и косинус как на функции появились в XVIII веке у Леонарда Эйлера, который большую часть жизни работал в Петербургской академии наук.

1.2 Синус, косинус и тангенс

В учебнике геометрии синус острого угла прямоугольного треугольника определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему. Эти числа зависят только от угла. Синус угла в 30° равен 0,5 и в треугольнике, нарисованном в тетради, и в треугольнике, размеченном на футбольном поле, потому что все такие треугольники подобны.

На этом и основан способ измерять высоту на расстоянии. Допустим, до дерева 20 метров, а его верхушка видна под углом 35°. Тангенс 35° примерно равен 0,7, значит, верхушка находится на 20 · 0,7 = 14 метров выше уровня глаз, и к этому числу надо прибавить ещё полтора метра, на которых глаза находятся над землёй. Получается, что дерево высотой около 15,5 метров, и для этого не понадобилось ничего, кроме рулетки и угломера.

Насколько сильно результат меняется вместе с углом, если расстояние остаётся прежним, показано на рисунке 1. Значения рассчитаны по формуле h = 20 · tg α.

Столбики растут неравномерно. От 15° к 30° высота увеличивается примерно вдвое, а от 45° к 60° сразу почти на 15 метров, потому что тангенс при приближении к 90° растёт всё быстрее. Для измерений из этого следует простое правило: ошибка угломера в один-два градуса при крутом угле даёт большую ошибку в метрах, поэтому лучше отойти подальше, чтобы верхушка была видна под углом 30–45°.

Есть у способа и другие слабые места. Если площадка перед зданием идёт под уклон, треугольник перестаёт быть прямоугольным, и формула даёт неверный ответ. Если основание объекта закрыто забором или кустами, расстояние до него приходится мерить на глаз. Поэтому для практической части проекта место у школы выбиралось заранее: ровный асфальт, открытая стена, рядом нет деревьев.

1.3 Где применяется тригонометрия

Тригонометрией пользуются гораздо чаще, чем принято думать, причём в самых разных профессиях. Несколько примеров собрано в таблице 1.

Таблица 1 — Применение тригонометрии в разных областях

Самый впечатляющий пример из таблицы — геодезическая дуга Струве. С 1816 по 1855 год под руководством астронома Василия Яковлевича Струве была проложена цепь треугольников длиной около 2 800 километров от побережья Северного Ледовитого океана в Норвегии до Чёрного моря. Измерив углы всех треугольников и длину лишь нескольких сторон, учёные вычислили остальные расстояния и уточнили размеры и форму Земли. В 2005 году дуга Струве вошла в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

Строители считают углы каждый день, даже если не произносят слово «тригонометрия». Уклон пандуса для инвалидных колясок по своду правил СП 59.13330.2020 не должен превышать 1:20, то есть на 20 метров длины подъём не больше метра, а это около 3°. От угла наклона крыши зависит, будет ли с неё сходить снег, от угла наклона лестницы, удобно ли по ней подниматься.

Мореплаватели веками определяли своё положение по небесным светилам. В полдень штурман измерял секстантом угол между горизонтом и Солнцем и по таблицам, составленным с помощью тригонометрии, вычислял широту, на которой находится корабль. Сегодня эту работу делает спутниковая навигация, но и в приёмнике GPS или ГЛОНАСС положение рассчитывается по расстояниям до нескольких спутников, а значит, опять через решение треугольников, только не на плоскости, а в пространстве.

Наконец, тригонометрия незаметно работает в каждом смартфоне и компьютере. Когда персонаж игры поворачивается, когда карта в навигаторе вращается вслед за направлением движения или когда фотография на экране наклоняется, программа пересчитывает координаты точек с помощью синусов и косинусов угла поворота. Миллионы таких вычислений в секунду выполняет видеокарта, и без них не было бы ни трёхмерных игр, ни современного кино со спецэффектами.

В физике синусоида описывает любое колебание: качание маятника, звучание струны, переменный ток в розетке, и поэтому на экране осциллографа видны плавные волны. Чтобы разложить силу на составляющие, рассчитать полёт мяча, брошенного под углом к горизонту, или сложить скорость лодки со скоростью течения, тоже нужны синусы и косинусы. Тот, кто собирается изучать технику и естественные науки, будет встречаться с тригонометрией постоянно.